Titres et résumés des exposés



Title : On the low energy behavior of the resolvent of Schrödinger operators.

Abstract : In scattering theory, the limiting absorption principle for selfadjoint operators (ie the existence of limiting values for the resolvent as the spectral parameter approaches the real axis) plays a fundamental role. In this talk we shall survey some results on the behaviour of such resolvents as the (real part of the) spectral parameter goes to zero, for Laplace-Beltrami operators with long range metrics. We will also present a recent approach in dimension 3 for Schrodinger operators with critical decay of the potential, when 0 can be an eigenvalue or a resonance.


Title: Quantum trajectory of the one atom maser model.

Abstract: The evolution of a quantum system undergoing repeated indirect measurements naturally leads to a Markov chain on the set of states, and which is called a quantum trajectory. When the system under consideration is finite dimensional, and under some natural assumption  related to the non-existence of so-called dark subspaces, the state of the system tends to become pure along the trajectory, a result which goes back to Kummerer and Maassen ('2006). This purification result is then a key step to the analysis of invariant measures: uniqueness, convergence towards it (Benoist et al. 2019). In this talk I will present some results concerning purification and invariant measure(s) for the quantum trajectory associated to the (infinite dimensional) one atom maser model.
This talk is based on a joint work with T. Benoist and C. Pellegrini.


Titre : Nombre d'états liés pour l'opérateur de Schrödinger fractionnaire sur-critique.

Résumé : On s'intéresse au nombre de valeurs propres négatives de l'opérateur de Schrödinger fractionnaire $H_s=(-\Delta)^s-V(x)$ dans $L^2(\mathbb{R}^d)$, en dimension quelconque $d\ge1$, et pour tout $s>0$. La littérature concernant l'opérateur de Schrödinger non fractionnaire ($s=1$) est très vaste. On rappellera en particulier les célèbres estimations de Cwikel, Lieb et Rozenblum (CLR) en dimension $d\ge3$, l'estimation de Bargmann en dimension $d=1$, et le type de résultats existant dans le cas critique de la dimension $2$. En dimension quelconque, une borne dans le cas sous-critique $0<s<d/2$ s'obtient de la même façon que les estimations CLR. Dans cet exposé, on s'intéressera au cas sur-critique $s\ge d/2$, incluant à la fois le cas critique $s=d/2$ et le cas de l'opérateur de Schrödinger polyharmonique où $s$ est un entier positif quelconque. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Sébastien Breteaux et Viviana Grasselli.


Titre : Mais d'où vient la friction ? Modèles hamiltoniens pour des particules classiques et quantiques. Partie I.

Résumé : Une idée très intuitive, formalisée notamment par Caldeira et Leggett, consiste à expliquer la friction comme résultant d'interactions avec le milieu environnant : si l'énergie est globalement conservée, il s'agit de comprendre comment elle est évacuée par l'environnement, conduisant à l'amortissement de la vitesse pour la particule. Ce point de vue à été développé par Stephan de Bièvre et Laurent Bruneau (puis avec Paul Parris, Pauline Lafitte, etc) en adoptant une description hamiltonienne de l'ensemble particule/milieu. Un programme de recherche vise à étendre cette modélisation en considérant plusieurs particules classiques ou quantiques en interaction avec l'environnement, impliquant des couplages avec des EDP de type Vlasov ou Schrödinger. Ce sujet fait appel à un large éventail de techniques mathématiques: analyse asymptotique, stabilité de systèmes dynamiques en dimension infinie,... On présentera les enjeux de modélisation et quelques résultats obtenus récemment.


Titre : Where is the photon?

Résumé : The title of this talk is an echo of the one of an article of Stephan de Bièvre, "Where's that quantum?'', published in 2007 (arXiv:math-ph/0607044v1). In it, together with a companion article ("Local states of free bose fields", arXiv:math-ph/0511037v1), the question of the spatial localization properties of free bose fields was treated on the basis of earlier works by J.M. Knight ("Strict localization in quantum field theory"). The main conclusion is that for any single quantum state there exists a local observable whose expectation value is different from zero anywhere in space. We will present a related recent result, in which the non-locality of single photon states is expressed in terms of a single  observable: For any single-photon state the expectation value of the local energy density is different from zero anywhere in space.  The energy density is an observable that can be measured in experiments, using superconducting nanowire detectors. (Extended pdf version of the abstract).



Titre : Equations de Fokker-Planck discrétisées : hypocoercivité et ordre uniforme.

Résumé : Dans cet exposé, nous aborderons la question du choix des discrétisations des opérateurs différentiels de l'équation de Fokker-Planck permettant d'assurer au niveau numérique de bonnes propriétés en temps long, notamment d’uniformité d’ordre. Cette recherche est l'esprit des résultats déjà connus en variables continues d'hypocoercivité et de retour à l'équilibre.
Les travaux présentés sont le fruit d'une collaboration avec Guillaume Dujardin (Inria Lille), et Frédéric Hérau (Université de Nantes).


Titre : Les particules de masse nulle à la lumière des orbites nilpotentes.

Résumé : Une orbite co-adjointe d’un groupe de Lie est naturellement munie d’une structure symplectique qui en fait un modèle efficace pour décrire la dynamique classique d’une particule libre dans un espace-temps dont les symétries sont encodées par le groupe de Lie. La théorie des représentations des groupes offre alors un arsenal d’outils aussi puissants qu’élégants, notamment via la méthode des orbites, pour quantifier la dynamique. Hélas, dans ce contexte pourtant idyllique, les particules de “masse nulle” ne se laissent pas quantifier de manière aussi canonique que les particules massives, comme cela a été observé par Stephan De Bièvre et ses collaborateurs dans les années 1990. Dans cet exposé, nous expliquerons comment l’opérateur de Dirac permet aux particules de "masse nulle" de "voyager" allègrement entre les mondes classique et quantique le long d'orbites nilpotentes.


Titre : Le retour du "Quantum Cat Map".

Résumé : Les automorphismes hyperboliques du tore bidimensionnel forment un modèle jouet de système fortement chaotique, popularisé par le livre de V.Arnold sous le nom de "transformation du chat", ou "cat map". En 1980, Hannay et Berry ont fourni une version quantique de ce système, qui a ensuite été utilisée comme modèle jouet par les praticiens du "chaos quantique". Ce système quantique possède en effet des propriétés algébriques et arithmétiques permettant d'analyser leur spectre et modes propres.

En particulier, les questions de délocalisation des modes propres dans la limite semiclassique (ergodicité quantique - unique ou non) ont été étudiés par de multiples auteurs, dont a fait partie Stephan De Bièvre (dans une vie scientifique antérieure).
Ce système quantique a la particularité d'être périodique, ce qui permet d'écrire des formules explicites pour les modes propres. Avec F.Bonechi, Stephan a remarqué que cette "période quantique" (qui dépend du paramètre semiclassique de façon assez erratique) est parfois très courte; cette observation nous a ensuite permis de mettre en évidence l'existence de modes propres partiellement localisés sur une orbite classique périodique, fournissant un contre-exemple à la conjecture d'ergodicité quantique unique pour ce système.

Avec Nir Schwartz, nous nous sommes servis de ces "périodes quantiques courtes" d'une autre manière. Celles-ci impliquent de grosses multiplicités spectrales, donc des espaces propers de grande dimension. Nous nous sommes alors intéressés à tirer au hasard des états dans ces grands espaces propres, ou à tirer au hasard une base propre orthonormée. On montre alors que presque sûrement, ces bases propres aléatoires sont équidistribuées dans la limite semiclassique. Nous montrons aussi que ces états propres aléatoires satisfont des propriétés statistiques "universelles", telles que conjecturées pour les états propres de systèmes classiquement chaotiques.


 Titre: Séries de Poincaré et géométrie convexe.

Résumé: J’expliquerai comment associer à un ensemble strictement convexe de R^n une famille de longueurs naturelles et comment former les séries de Poincaré correspondantes dans ce cadre. Je discuterai les propriétés de régularité de ces fonctions (analyticité, etc.) en essayant de mettre en évidence le lien avec les propriétés fonctionnelles de certains systèmes dynamiques intégrables sous-jacents. Il s'agit de travaux avec N.V. Dang, Y. Guedes Bonthonneau et M. Léautaud.


Title: Spectral and dynamical properties of fractional random Schrödinger operators.

Abstract: We review recent results and on-going work on the spectral and dynamical properties of the fractional Anderson model, that is, the fractional Laplacian perturbed by a random operator of Anderson type. The fractional Laplacian has been well studied in analysis and probability theory, because of its link with alpha-stable Levy processes, however, less is known about it randomly perturbed version. This model, however, is expected to model anomalous diffusion, and to exhibit a phase transition in dimension 1, which makes it an interesting model to study from the point of view of random Schrödinger operators. We report on recent work with M. Disertori and R. Maturana, and on-going work with Peter Hislop.
Titre : Mais d'où vient la friction ? Modèles hamiltoniens pour des particules classiques et quantiques. Partie II.

Résumé : Une idée très intuitive, formalisée notamment par Caldeira et Leggett, consiste à expliquer la friction comme résultant d'interactions avec le milieu environnant : si l'énergie est globalement conservée, il s'agit de comprendre comment elle est évacuée par l'environnement, conduisant à l'amortissement de la vitesse pour la particule. Ce point de vue à été développé par Stephan de Bièvre et Laurent Bruneau (puis avec Paul Parris, Pauline Lafitte, etc) en adoptant une description hamiltonienne de l'ensemble particule/milieu. Un programme de recherche vise à étendre cette modélisation en considérant plusieurs particules classiques ou quantiques en interaction avec l'environnement, impliquant des couplages avec des EDP de type Vlasov ou Schrödinger. Ce sujet fait appel à un large éventail de techniques mathématiques: analyse asymptotique, stabilité de systèmes dynamiques en dimension infinie,... On présentera les enjeux de modélisation et quelques résultats obtenus récemment.